Der Drehimpuls eines Elektrons
Ich glaube, ich sehe, wie Bohrs Vorstellung von verschiedenen Energieniveaus mit der Balmer-Formel zusammenpasst, aber ich sehe nicht, wo der Drehimpuls ins Spiel kommt.
Bohr wusste, dass die Energie eines Photons gleich der Planck'schen Konstante mal seiner Frequenz war (diese Formel wurde von Einstein während seiner Arbeit am photoelektrischen Effekt entdeckt). Wenn Bohrs Modell stimmte, so wusste er also auch, dass die Energie des ausgesandten Photons gleich der Energiedifferenz zwischen dem oberen und dem unteren der beteiligten Energieniveaus ist. Somit hatte er eine Beziehung zwischen den Energieniveaus und der Frequenz der Photonen...
Aber Balmers Formel gibt uns die Wellenlänge und nicht die Frequenz.
Du darfst nicht vergessen, dass die beiden zusammenhängen. Die Geschwindigkeit einer Welle ist gegeben durch das Produkt aus ihrer Wellenlänge und ihrer Frequenz, wie ich es Katrin schon früher erklärte. Ein Photon, oder ein Blitz von elektromagnetischer Strahlung, bewegt sich mit der Lichtgeschwindigkeit c.
So ist es — und da wir wissen, dass
aus Balmers Formel. Jetzt können wir die Energieniveaus durch die kinetische und potentielle Energie des Elektrons ausdrücken:
wobei m die Masse des Elektrons, v seine Geschwindigkeit und r die Bahnradien der oberen und unteren Niveaus sind.
Ich begreife langsam, wo der Drehimpuls jetzt in der Gleichung auftauchen könnte. Wenn das Elektron auf einer Kreisbahn ist, dann ist
oder?
Ganz genau. Auf diese Weise kann man jetzt alles durch r und L ausdrücken:
Um herauszufinden, wie groß r ist, können wir Newtons zweites Gesetz, F = ma, auf das Elektron anwenden. Die auf das Elektron wirkende Kraft ist durch das Coulomb-Gesetz gegeben:
Wenn das Elektron eine gleichförmige Kreisbewegung ausführt, so ist seine Beschleunigung
Ersetzen wir den Wert von v in der Gleichung (6) und lösen die Gleichung nach r auf, so finden wir
Da jetzt nur L vorkommt, erhalten wir die hübsche Formel
welche, zusammen mit Gleichung (3), bedeutet, dass
Die beiden Seiten dieser Gleichung sehen sehr ähnlich aus. Innerhalb der Klammern haben beide eine 1 geteilt durch irgendetwas zum Quadrat minus eine 1 geteilt durch irgendetwas anderes zum Quadrat stehen, und das ganze Zeug außerhalb der Klammern ist nur eine Konstante. Es sollte also jetzt möglich sein, einen Wert von L zu finden, der beide Seiten exakt gleich macht...
Bohr hat genau das getan. Es schien ihm logisch, anzunehmen, dass die quadratischen Terme auf der rechten Seite mit seinen Ideen von Energieniveaus zusammenhängen. Er ordnete jedem Energieniveau eine ganze Zahl — n genannt — zu, wobei n = 1 dem Grundzustand (Zustand mit der niedrigst möglichen Energie) entspricht. In diesem Fall würden die 2 und das n in der Balmerserie Elektronen entsprechen, die vom nten Niveau in das zweite springen...
Ich verstehe — die Linie bei 656 nm würde also von einem Elektron verursacht, das vom dritten in das zweite Energieniveau springt, und so weiter. Die Lyman-Serie würde dann von Elektronen kommen, die in das unterste Energieniveau stürzen, und in der Paschen-Serie würden sie in das dritte Niveau fallen — das ergibt einen Sinn!
Nicht wahr? Bohr erkannte, dass alles wunderbar richtig herauskommt, wenn er einzig und allein annimmt, dass der Drehimpuls des Elektrons im nten Niveau gleich n mal eine Konstante ist. Um diese Konstante zu finden, musste er nur deren Wert so finden, dass Gleichung (13) stimmt. Es zeigte sich, dass das geht, wenn
Wenn man die Werte von all diesen Naturkonstanten — Lichtgeschwindigkeit, Ladung und Masse des Elektrons — einsetzt, so erhält man genau den Wert der Konstanten in Balmers Formel.
