Klassische Bahnen und Quantenmechanik
Wie wendet man das Korrespondenzprinzip auf das Bohrmodell und auf das Rutherfordmodell an?
Ich werde ganz am Anfang beginnen. Du kennst die Grundlagen von Bohrs Theorie: Elektronen in Atomen können sich nur in gewissen Energieniveaus aufhalten, und sie können Strahlung aufnehmen oder abgeben, wenn sie von einem Niveau in ein anderes springen. Wenn ein Elektron in ein tiefer liegendes Niveau springt, so kommt ein Photon heraus; wegen der Energieerhaltung wissen wir, dass die Energie dieses Photons gleich der verlorenen Energie sein muss — d.h. gleich der Differenz zwischen der Energie des höher gelegenen Niveaus und des niedrigeren Niveaus. Aber wir wissen auch, dass die Energie des Photons gegeben ist durch das Produkt aus der Planck'schen Konstante und seiner Frequenz; wir können also die Frequenz ausrechnen, wenn wir wissen, wie groß die Energien der Niveaus sind.
Ja, aber woher wissen wir, welche Energieniveaus erlaubt sind?
Na ja, Bohr fand eine Formel, um das zu bestimmen. Er hatte keine richtige theoretische Rechtfertigung für die Formel, aber sie passte gut zu den experimentellen Daten. 1885, etwa 30 Jahre vor Bohrs Arbeit, hatte J. J. Balmer die Frequenzen der Spektrallinien des Wasserstoffatoms untersucht und eine hübsche Formel zur perfekten Beschreibung dieser Frequenzen gefunden. Bohr fand, dass seine Formel ganz genau mit der Balmer-Formel übereinstimmte, wenn er annahm, dass der Drehimpuls des Elektrons nur ganz bestimmte Werte annehmen darf. (Nur ganzzahlige Vielfache der Planck'schen Konstante geteilt durch 2 pi, oder h quer.)
Ich kann dir zeigen, wie Balmers Formel aussah und wie Bohr den Drehimpuls des Elektrons daraus bestimmte.
Bei bekanntem Drehimpuls konnte Bohr leicht die Geschwindigkeit des Elektrons und seinen Bahnradius und daraus seine potentielle und kinetische Energie bestimmen. Das bedeutete, dass er die Energiedifferenz zwischen zwei Bahnen und damit die Frequenz des Photons berechnen konnte.
OK...was hat es denn jetzt mit diesen dicht beieinander liegenden Energieniveaus auf sich?
Wie ich schon sagte, muss der Drehimpuls ein ganzes Vielfaches von h quer sein; die ganze Zahl wird n genannt. Ein Wert von n = 1 entspricht dem Grundzustand, in welchem das Elektron die kleinste mögliche Energie hat. Wenn man Bohrs Formel anschaut, so sieht man, dass die Differenz zwischen aufeinander folgenden Energieniveaus kleiner und kleiner wird, wenn n größer wird. Es ist sogar so, dass die Differenz gegen Null strebt, wenn n gegen unendlich geht.
Daher sind also die Niveaus "dicht gepackt", wenn n groß ist. Aber was hat das mit dem klassischen Modell zu tun?
Du weißt doch noch, wie wir den Bahnradius und die Geschwindigkeit aus Bohrs Formel herleiten können. Diese Werte erlauben uns ihrerseits, die Bahnfrequenz — d.h. die Anzahl pro Zeiteinheit durchlaufener Bahnen — zu berechnen.
Das ist das, was wir die "Schwingungsfrequenz" nannten, oder?
Richtig. Jetzt kommt der verblüffende Teil: Wenn n größer und größer wird, so nähert sich die Differenz zwischen den Energienieveaus n und n+1 immer mehr der Planck'schen Konstante mal der Bahnfrequenz im Niveau n.
Moment mal...wir sagten doch, dass die Differenz zwischen den Energieniveaus gleich der Planck'schen Konstante mal der Frequenz des Photons sei. Daher ist also bei sehr grossen Werten von n die Frequenz des Photons ziemlich ähnlich wie die "Schwingungsfrequenz" des Elektrons — so wie es vom Rutherfordmodell vorausgesagt wird!
Stimmt genau; dies ist der Punkt, wo die klassische Mechanik und die Quantenmechanik ineinander übergehen. Eine andere Art, dies zu sehen, ist, sich vorzustellen, dass die Frequenz des emittierten Photons immer zwischen den Bahnfrequenzen der beteiligten Energieniveaus liegt (eine Tasache, die sich mit einer kleinen Rechnung beweisen lässt). Wenn die Energieniveaus sich annähern, so ist immer weniger "Platz" zwischen ihnen, und die Frequenz des Photons wird der Bahnfrequenz immer ähnlicher.
Ich kann dir einen mathematischen Beweis für diesen Zusammenhänge zwischen den Modellen von Bohr und Rutherford geben.
Klasse. Jetzt verstehe ich die Verbindung zwischen der klassischen Art, die Dinge zu betrachten, die für große Objekte, wie Sterne und Planeten gut funktioniert, und dem Bohrmodell, welches beschreibt, wie die Dinge auf der atomaren Skala wirklich sind...
Na ja, du kennst noch nicht die ganze Geschichte. Eigentlich weiss niemand genau, was "wirklich" in einem Atom passiert, aber wir wissen, dass das Bohrmodell nicht ganz richtig ist; die Elektronen bewegen sich überhaupt nicht auf Bahnen. Das Schrödingermodell stimmt besser mit den experimentellen Ergebnissen überein, sodass wir glauben, dass es die Realität besser beschreibt.
Oh, nicht schon wieder ein neues Modell! Wie erklärt das Schrödingermodell denn die Strahlung von Atomen? Hat es noch etwas mit der Vorstellung von "schwingenden Ladungen" zu tun?
Na, ja, das ist eine andere Geschichte...
