Frequenz und Energie
Das Bohrmodell und das Rutherfordmodell machen verschiedene Vorhersagen für die Frequenzen des Lichts, das von einem Wasserstoffatom ausgesandt werden kann. Im klassischen Rutherfordbild wird die elektromagnetische Strahlung von Elektronen auf Kreisbahnen erzeugt, und die Frequenz des emittierten Lichts ist die Gleiche wie die Frequenz der Bahn des Elektrons. Im Bohrmodell erscheint Strahlung, wenn das Elektron einen Übergang zwischen Energieniveaus macht, und die Frequenz ist gegeben durch die Änderung der Energie des Elektrons geteilt durch die Planck'sche Konstante.
Es sieht so aus, als hätten diese beiden Formeln nichts miteinander zu tun. In dem nun folgenden Beweis werde ich zeigen, dass Rutherfords Gleichung für hoch liegende Energieniveaus eine gute Näherung für die Gleichung von Bohr wird.
Ausgehend von Balmers Formel nahm Bohr an, dass der Drehimpuls L eines Elektrons im Wasserstoffatom die Bedingung
erfüllt, wobei n eine positive ganze Zahl ist. Wenn das Elektron auf einer Kreisbahn um den Kern läuft, so ist sein Drehimpuls auch durch
gegeben, wobei m die Masse des Elektrons ist und v und r seine Geschwindigkeit und der Bahnradius in diesem Energieniveau sind. Daher ist
Um eine weitere Beziehung zwischen r und v zu finden, wenden wir Newtons zweites Gesetz F = ma und die Coulomb-Kraft auf das Elektron an — dies haben wir schon früher gemacht. Mit Bohrs Ausdruck für den Drehimpuls finden wir,dass
Wir setzen das in Gleichung (3) ein und bekommen
Jetzt können wir die Gesamtenergie eines Elektrons mit einem gegebenen Wert von n berechnen:
Mit den Werten von r und v aus (5) und (6) kann man dies zu
vereinfachen. (B hängt mit der Rydberg-Konstanten R zusammen.)
Mit diesem Ausdruck für E, sieht man leicht, dass die Differenz zwischen den Energieniveaus n+1 und n
ist. Für sehr große Werte von n nähert sich diese Energiedifferenz dem Wert
Betrachte jetzt die Bahnfrequenz des Elektrons. Seine Winkelgeschwindigkeit im Niveau n muss
sein, oder, wenn man die Werte von r and v aus den Gleichungen (5) und (6) einsetzt,
Mit dem Wert von A aus Gleichung (5),
Man sieht eine frappierende Ähnlichkeit zur Energiedifferenz, die wir in Gleichung (10) hergeleitet haben. Man erhält das bemerkenswerte Resultat
für große Werte von n. Was ist so bemerkenswert daran? Na ja, erinnern wir uns, dass
für große n, wodurch die Formeln von Rutherford und Bohr ungefähr äquivalent werden. Aus diesem Grund nähert sich die Frequenz der emittierten Strahlung der Orbitalfrequenz, wenn n größer wird.
